Exercice : TD N°2 [SYSTÈMES ASSERVIS LINÉAIRES]

TD N°2

ASSERVISSEMENT DE VITESSE

L'asservissement de vitesse d'un moteur à courant continu est modélisé par le schéma suivant :

I. - Étude à vide

C_R(p)=0

Question

I.1 - Quelle est la fonction réalisée par le bloc \({\frac{1}{J_tp}}\)?

Solution

Il s'agit d'un bloc intégrateur,

d'après le P.F.D. : \(C_M-C_R=J\frac{d\Omega}{dt}\)

Question

I.2 - Exprimer la fonction de transfert en boucle ouverte \(H_{BO}(p)=\frac{V_G(p)}{\varepsilon p)}\)

Exprimer cette fonction de transfert sous forme numérique avec :

A=1

K_i=1A/V

K_c=2Nm/A

Jt=0,01 kgm²

K_g=0.0637 V/(rad/s)

\(\mathcal{T}\)=0.01s

Solution

\(H_{BO}(p)=\frac{AK_iK_cK_g}{J_tp(1+\mathcal{T} p)}=\frac{12.7}{p(1+0.01p)}\)

Question

I. 3 - À vide, calculer la fonction de transfert en boucle fermée \(H_{BF}(p)=\Large\frac{\Omega(p)}{E(p)}\)

Les numérateur et dénominateur seront ordonnés selon les puissances croissantes de p.

Solution

\(H_{BF}(p)=\frac{H}{1+KH}=\frac{AK_iK_c}{AK_iK_cK_g+J_tp+J_t\mathcal{T}p²}=\frac{1}{K_g}\frac{1}{1+\frac{J_t}{AK_iK_cK_g}p+\frac{J_t\mathcal{T}}{AK_iK_cK_g}p^2}\)

Question

I.4 - Montrer que \(H_{BF}(p)\) peut se mettre sous la forme \(H_{BF}(p)=\frac{K}{1+\frac{2z}{\omega_0}p+\frac{p^2}{\omega_0^2}}\)

Exprimer K, z et ω₀ en fonction de A, K_i, K_c, J_t,\(\mathcal{T}\) et K_G. Calculez K, z et ω₀

Quelle est l'influence de A sur z et ω₀ ?

Solution

K=\(\frac{1}{K_g}=15.7V/rad\: s^{-1}\)

\(\omega_0=\sqrt{\frac{AK_iK_cK_g}{J_t\mathcal{T}}}=35.7\sqrt{A}\:rad\: s^{-1} \)

\(z=0.5\sqrt{\frac{J_t}{AK_iK_cK_g\mathcal{T}}}=1.4/\sqrt{A} \)

Plus A augmente, plus ω₀ augmente : le système devient plus rapide

Plus A augmente, plus z diminue : le système devient moins stable

Question

I.5 - On applique un échelon d'amplitude 10V sur la consigne : Déterminer l'expression de Ω (p)

Solution

\(\Omega(p)=\frac{10}{p}\frac{K}{1+\frac{2z}{\omega_0}p+\frac{p^2}{\omega_0^2}}\)

Question

I.6 -En appliquant le théorème de la valeur finale, déterminer Ω_∞ la valeur finale de Ω(t)

Indice

\(\lim\limits_{t \rightarrow +\infty} \Omega(t)=\lim\limits_{p \rightarrow 0}p \Omega(p)\)

\(\Omega_\infty=\lim\limits_{t \rightarrow +\infty}\Omega(t)=\lim\limits_{p \rightarrow 0}p \Omega(p)=\lim\limits_{p \rightarrow 0}p\frac{10}{p}\frac{K}{1+\frac{2z}{\omega_0}p+\frac{p^2}{\omega_0^2}}=10K=157rad\: s^{-1}=1500 tr/min\)

Question

I.7 - Calculer l'erreur ε_∞ en régime permanent

Solution

ε_∞=10-Kg x157=0 , l'erreur est nulle

Ce n'est pas surprenant, le moteur est à vide, peut-être que si on applique un couple résistant, le moteur va ralentir...

II - Étude en charge

E(p)=0

Question

II.1 - En supposant E(p)=0, redessiner le schéma fonctionnel avec C_R(p) pour entrée

Calculer la nouvelle fonction de transfert en boucle fermée \(H'_{BF}(p)=\Large\frac{\Omega(p)}{C_R(p)}\)

Les numérateur et dénominateur seront ordonnés selon les puissances croissantes de p.

Solution

\(H'_{BF}(p)=\frac{H}{1+KH}=-\frac{1+\mathcal{T} p}{AK_iK_cK_g+J_tp+J_t\mathcal{T} p²}=\frac{-1}{AK_cK_iK_g}\frac{1+\mathcal{T} p}{1+\frac{J_t}{AK_iK_cK_g}p+\frac{J_t\mathcal{T}}{AK_iK_cK_g}p^2}\)

Question

II.2 - Montrer que \(H'_{BF}(p)\) peut se mettre sous la forme \(H'_{BF}(p)=\frac{K'(1+\mathcal{T} p)}{1+\frac{2z}{\omega _0}p+\frac{p^2}{\omega _0^2}}\)

Exprimer K' en fonction de A, K_i, K_c et K_G

Solution

\(K'=\frac{-1}{AK_iK_cK_g}=\frac{-7.85\: rad\: s^{-1}/Nm}{A} \)

z et ω₀ sont inchangés par rapport à la partie I.

Le signe - indique que un couple résistant positif provoque une diminution de la vitesse ; logique, non ?

Question

II.3 - On applique un échelon de couple résistant C_R= 1Nm ; Déterminer l'expression de Ω(p)

Solution

\(\Omega(p)=\frac{1}{p}\frac{K'(1+\mathcal{T} p)}{1+\frac{2z}{\omega_0}p+\frac{p^2}{\omega_0^2}}\)

Question

II.4 -En appliquant le théorème de la valeur finale, déterminer \(\Delta\Omega_\infty\) la valeur finale de la variation de Ω(t)

Calculer cet écart pour A=1 puis A=10

Quelle est l'influence de A sur la précision ?

Solution

ΔΩ_∞=K'=-7.85 rad s^-1/A

Pour A=1, ΔΩ=-7.85 rad/s (-5% par rapport à 157 rad/s)

Pour A=10, ΔΩ=-0.785rad/s (-0.5% par rapport à 157 rad/s)

Plus A est élevé, meilleure est la précision

Avec ce type de correcteur (P), l'erreur n'est jamais nulle !

Nous verrons plus tard un autre type de correcteur (PI) permettant d'annuler cette erreur

III - Diagrammes de Bode et Black

Calculs de nombres complexe avec calculatrice ou tableur

Question

On considère la fonction de transfert \(H(p)=\large\frac{12.7}{p(1+0.01p)}\)

Calculer 20 log(|H|) et Arg(H) puis tracer les diagrammes de Bode et Black de H(p)

ω (rad/s)	20 log(\|H(jω)\|) (dB)	Arg(H(jω)) (°)
1
3
10
30
100
300
1000

Solution

ω (rad/s)	20 log(\|\|H(jω)\|\| (dB)	Arg(H(jω)) (°)
1	22	-91
3	13	-92
10	2	-96
30	-8	-107
100	-21	-135
300	-37	-162
1000	-58	-174