TD N°4

RÉGULATION DE TEMPÉRATURE

Une régulation de température est modélisée par le schéma suivant :

I. ÉTUDE DU COMPORTEMENT PAR RAPPORT À LA CONSIGNE

θamb=0

Question

I.1- Pour VE=5V, que vaudrait la température de sortie si l'erreur était nulle ?

Solution

\(\theta_S=\frac{V_E}{K_t}=\small50°C\)

Question

I.2 - Calculer la fonction de transfert en boucle fermée \(H_{bf}(p)=\frac{\theta_s(p)}{V_E(p)}\) avec θamb=0

Les numérateur et dénominateur seront ordonnés selon les puissances croissantes de p

Solution

\(H_{bf}(p)=\frac{K_pR_{th}}{1+K_tK_pR_{th}}\:\frac{1}{1+\frac{\mathcal{T}_1+\mathcal{T}_2}{1+K_tK_pR_{th} }p+\frac{\mathcal{T}_1\mathcal{T}_2}{1+K_tK_pR_{th} }p^2}\)

Question

I.3 -Montrer que \(H_{bf}(p)\) peut se mettre sous la forme \(H_{bf}(p)=\frac{K}{1+\frac{2z}{\omega_0}p+\frac{p^2}{\omega_0^2}}\)

Exprimer K, z et ω0 en fonction de Kp, Rth,Kt, \(\mathcal{T}_1\) et \(\mathcal{T}_2\). Calculez K, z et \(\omega_0\)

Solution

\(K=\frac{K_pR_{th}}{1+K_tK_pR_{th}}\:\: =9.09°C/V\)

\(\omega_0=\sqrt{\frac{1+K_tK_pR_{th} }{\mathcal{T}_1\ \mathcal{T}_2}}=0.225rad/s\)

\(z=\frac{1}{2}\frac{\mathcal{T}_1+\mathcal{T}_2}{\sqrt{\mathcal{T}_1\mathcal{T}_2(1+K_tK_pR_{th})}}=2.236\)

Question

I.4 - On applique un échelon d'amplitude 5V sur la consigne : Déterminer l'expression de θS (p) sous forme littérale et numérique

Déterminer les pôles de θS (p), factorisez le dénominateur, puis décomposer θS (p) en éléments simples

Solution

  • \(\theta_s(p)=\frac{5}{p}\frac{K}{1+\frac{2z}{\omega_0}p+\frac{p^2}{\omega_0^2}}\)=\(\frac{45.5}{p(1+19.8p+19.8p^2)}\)

  • Les 3 pôles sont p0=0, p1=-0.053 rad/s et p2=-0.947 rad/s

  • \(\theta_s(p)=\frac{45.5}{19.8p(p+0.0533)(p+0.947)}\)=2.3\((\frac{A}{p}+\frac{B}{(p+0.0533)}+\frac{C}{(p+0.947)})\)

  • On multiplie par p, et on remplace p par 0 \(\Rightarrow\)A=19.8

    On multiplie par (p+0.0533), et on remplace p par -0.0533 \(\Rightarrow\)B=-21

    On multiplie par (p+0.947), et on remplace p par -0.947 \(\Rightarrow\)C=1.2

    Finalement \(\theta_s(p)=\frac{45.5}{p}-\frac{48.2}{(p+0.0533)}+\frac{2.7}{(p+0.947)}\)

Question

I.5 - En utilisant la transformée de Laplace inverse, déterminer θ(t)

Quelle est \(\theta s_\infty\) la valeur finale de θs(t) ?

Tracez l'évolution de θ(t)

Solution

\(\theta_s(t)=u(t) \:(45.5-48.2\:e^{-0.0533t}+2.7\:e^{-0.947t})\)

Lorsqu'on fait tendre t vers l'infini, les 2 exponentielles tendent vers 0

Et donc θ∞ =45.5°C au lieu de 50°C si l'erreur était nulle

II. ÉTUDE DU COMPORTEMENT PAR RAPPORT À LA PERTURBATION θamb

Ve(p)=0

Question

II.1 - En supposant Ve(p)=0, redessiner le schéma fonctionnel avec θamb(p) pour consigne

Calculer la nouvelle fonction de transfert en boucle fermée \(H'_{bf}(p)=\frac{\theta_s(p)}{\theta_{amb}(p)}\)

Le dénominateur sera ordonné selon les puissances croissantes de p.

Solution

\(H'_{bf}(p)=\frac{1}{1+K_tK_pR_{th}}\:\frac{(1+\mathcal{T}_1p)(1+\mathcal{T}_2p)}{1+\frac{\mathcal{T}_1+\mathcal{T}_2}{1+K_tK_pR_{th} }p+\frac{\mathcal{T}_1\mathcal{T}_2}{1+K_tK_pR_{th} }p^2}\)

Question

II.2 - Montrer que \(H'_{BF}(p)\) peut se mettre sous la forme \(H'_{BF}(p)=\frac{K'(1+\mathcal{T}_1 p)(1+\mathcal{T}_2 p)}{1+\frac{2z}{\omega _0}p+\frac{p^2}{\omega _0^2}}\)

Exprimer K' en fonction de Kp, Rth,Kt. Calculez K'

Solution

\(K'=\frac{1}{1+K_tK_pR_{th}}\)=0.0909

Question

II.3 - On applique un échelon d'amplitude +10°C sur la température ambiante : Déterminer l'expression de θS (p)

Puis déterminer \(\Delta\theta s_\infty\) la valeur finale de la variation de température θs(t)

Solution

\(\lim\limits_{t \rightarrow +\infty} \Delta \theta_s(t)=\lim\limits_{p \rightarrow 0}p \theta_s(p)=\lim\limits_{p \rightarrow 0}p\frac{10}{p}\frac{K'(1+\mathcal{T}_1p)(1+\mathcal{T}_2p)}{1+\frac{2z}{\omega_0}p+\frac{p^2}{\omega_0^2}}=10K'=0.909°C\)\(\)